Τι (ποιος) είναι Приближение функций комплексного переменного - ορισμός
ФУНКЦИЯ, ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗНАЧЕНИЙ КОТОРОЙ - ПОДМНОЖЕСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Функция комплексной переменной; Функция комплексного переменного; Функции комплексного переменного
Приближение функций комплексного переменного
раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций (См. Аналитические функции) специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.
Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей - М. В. Келдышем (1945) и в общем случае - С. Н. Мергеляном (1951).
Пусть Еп = En (f, K) - наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К - компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Еп} стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: En < qn, 0 < q = q 
< 1 (n > N). Если f непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.
Другие направления исследований - равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.
Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. - Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112-78.
А. А. Гончар.
Комплексная функция
Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: f\colon\Complex \to \Complex.
Приближение Фоккера — Планка
Фоккера-Планка приближение
Фо́ккера-Пла́нка приближе́ние — описание физической кинетики частиц в газе в случае, когда распределение частиц по скоростям имеет почти изотропный характер. В основном применяется для описания электронов в газах при воздействии электрического поля.
Βικιπαίδεια
Комплексная функция
Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: .
Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:
- ,
где и — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции . В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:
- ;
- .
Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа , мнимая часть , комплексное сопряжение , модуль и аргумент аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.
